Курсовая работа. Видеоимпульс. Передаточная функция фильтра. Скачать бесплатно

Расчетная часть

1. Найти операторную передаточную функцию фильтра, составив и решив систему узловых уравнений для электрической цепи каждого звена фильтра.


Для рассматриваемой в курсовой работе электрического фильтра передаточная функция имеет вид:

 , где        

 -передаточная функция фильтра;
 -передаточная функция по напряжению первого звена фильтра;
 -передаточная функция по напряжению второго звена фильтра.

Составим узловые уравнения для нахождения передаточной функции фильтра.

Исходная схема:
 
R = 100 кОм
С1 = 1,8 нФ
С2 = 1,2 нФ
k1 = 1,2
k2 = 1,4

Рассмотрим первое звено фильтра:
 
Запишем узловые уравнения 1-го звена в общем виде. Для расчета передаточной функции достаточно записать уравнения для узлов (3) и (4):

 

В электрических цепях, содержащих идеальные усилители,  узловое уравнение для выходного узла не составляют. Вместо этого рекомендуется использовать уравнения:

 

Расчёт коэффициентов левой части уравнений (1) и (2):

 
С учётом найденных коэффициентов получим систему уравнений:

 
В результате решения системы найдем передаточную функцию первого звена фильтра: 

 
Преобразуем выражение для передаточной функции.
С этой целью разделим числитель и знаменатель на коэффициент   при операторе  : 
 

Знаменатель передаточной функции звена содержит характеристический полином второго порядка, формально совпадающий с характеристическим полиномом резонансного колебательного контура.
   ,
где   и   - резонансная частота и добротность контура соответственно.
Аналогичные коэффициенты знаменателя передаточной функции звена называются добротностью и частотой полюса:         

 

Рассмотрим второе звено фильтра:
 
Запишем узловые уравнения 2-го звена в общем виде. Для расчета передаточной функции достаточно записать уравнения для узлов (3) и (4):

 

В электрических цепях, содержащих идеальные усилители,  узловое уравнение для выходного узла не составляют. Вместо этого рекомендуется использовать уравнение:
 

Расчёт коэффициентов левой части уравнений (1 ) и (2 ):

 



С учётом найденных коэффициентов получим систему уравнений:
 

В результате решения системы найдем передаточную функцию второго звена фильтра: 

                              
Преобразуем выражение для передаточной функции.
С этой целью разделим числитель и знаменатель на коэффициент   при операторе  : 

 
Добротность и частота полюса второго звена:

 
Передаточная функция фильтра при каскадном соединении звеньев:

    

2. Получить выражения для АЧХ и ФЧХ передаточной функции  фильтра и каждого его звена, построить их графики и указать тип фильтра.


График зависимости модуля передаточной функции от частоты называется амлитудночастотной характеристикой (АЧХ), а график зависимости  аргумента – фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Обе зависимости, построенные в широком диапазоне частот, определяют характер преобразования сигналов и тип фильтра: фильтр нижних частот (ФНЧ), фильтр верхних частот (ФВЧ), полосовой фильтр (ПФ), заграждающий фильтр (ЗФ) и другие типы фильтров с более сложным видом частотных характеристик.

Выражения для частотных характеристик передаточной функции фильтра получим на основании (7), подставив в него  :

 
  – комплексная передаточная функция фильтра.

Расчет выражений для АЧХ и ФЧХ передаточной функции   производится в обычном порядке, как расчет модуля и аргумента комплексного числа.

График АЧХ передаточной функции изображают как в линейном, так и в логарифмическом масштабах. На оси ординат графика АЧХ, построенной в линейном масштабе указывают модуль |H(j |. На оси ординат графика АЧХ,
построенной в логарифмическом масштабе, принято откладывать значение 20lg|H(j |. Эта величина оценивается в децибелах.
Фазовый сдвиг   на фазочастотных характеристиках откладывают в линейном масштабе.
На рис.1 и рис.2 представлены графики АЧХ передаточной функции фильтра соответственно в линейном и логарифмическом  масштабах. Фазочастотная характеристика фильтра приведена на рис.3.

Для построения графиков использовалась программа MathCAD 14.

 
Рис 1 – АЧХ фильтра в линейном масштабе.
 
Рис 2 – АЧХ фильтра в логарифмическом масштабе.

 
Рис 3 – ФЧХ фильтра.

По графикам можно сделать вывод, что АЧХ и ФЧХ передаточной функции при каскадном соединении первого и второго звеньев соответствуют частотным характеристикам фильтра верхних частот.

3. Найти переходную характеристику первого звена фильтра и построить ее график. Определить по графику период, частоту   и затухание (логарифмический декремент затухания) свободных колебаний.


Переходной характеристикой называется реакция электрической цепи при нулевых начальных условиях на единичную ступенчатую функцию.

Расчет переходной характеристики в операторной форме производится по формуле:

 
где   – изображение переходной характеристики по Лапласу.

Для дальнейшего расчета следует воспользоваться теоремой разложения, найти действительную функцию   и построить график с помощью программы MathCAD (рис.4).
 
 

Решив квадратное уравнение, получим корни:

 

Переходная характеристика в общем виде выглядит следующим образом:
 

где
 
 

Таким образом, переходная характеристика первого звена фильтра выглядит следующим образом:
 
 
Рис 4 – Переходная характеристика первого звена фильтра.
       4. Оценить допустимую величину ступенчатого воздействия на фильтр, если напряжение на входе усилителя второго звена фильтра во избежание его перегрузки не должно превышать 0,2 В.

Допустимая величина ступенчатого воздействия равна
 
где                             
  
 В –  заданное ограничение по напряжению на входе второго звена;
  – максимальное значение . 

 

 5. Получить выражения и построить графики:

           а) спектральной плотности амплитуд,
           б) спектра фаз,
           в) спектральной плотности энергии колебаний на входе и выходе фильтра, если к его входу подведен одиночный импульс заданной формы (синусоидальный видеоимпульс). Оценить области концентрации энергии воздействия и реакции и показать на графике ширину спектра.

Для заданного вида импульса напряжения необходимо взять интеграл Фурье в пределах существования импульса, т.е. получить выражение для комплексной спектральной плотности сигнала. Спектральная плотность амплитуд на входе фильтра определяется, как модуль комплексной спектральной плотности, спектр фаз – как ее аргумент, а спектральная плотность энергии – как  удвоенный квадрат спектральной плотности амплитуд.

Комплексная спектральная плотность:
 
где

 комплексная передаточная функция фильтра,
 спектральная плотность входного сигнала.

 
 заданный входной сигнал (синусоидальный видеоимпульс).

 ;  ; 
 
Решив интеграл, получим:

 
Спектральная плотность амплитуд (рис. 5):

 
Рис. 5 - Спектральная плотность амплитуд.

Спектр фаз (рис. 6):


 
Рис. 6 – Спектр фаз.




Спектральная плотность энергии колебаний на входе (рис. 7):

 
Рис. 7 – Спектральная плотность энергии колебаний на входе.

Спектральная плотность энергии колебаний на выходе (рис. 8):

 
Рис. 8 – Спектральная плотность энергии колебаний на выходе.

6. Убедиться в устойчивости фильтра по расположению полюсов его передаточной функции, показав их на комплексной плоскости.


Для определения полюсов передаточной функции необходимо характеристический полином передаточной функции каждого звена электрического фильтра приравнять к нулю и найти их корни.
Характеристический полином передаточной функции (5) первого звена фильтра приравняем к нулю и найдем его корни:
 

Знаменатель передаточной функции ( ) второго звена фильтра приравняем к нулю и решим полученное уравнение:

 
 Если электрическая цепь устойчива, то все полюса будут расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости (рис.9).
 
Рис. 9 – Расположение полюсов на комплексной плоскости.

Как видно из рисунка 9, фильтр устойчив.

7. Построить годограф передаточной функции по петле обратной связи первого звена фильтра, разомкнув цепь обратной связи на входе первого усилителя звена. Убедиться в устойчивости фильтра по критерию Найквиста.


Критерий устойчивости Найквиста можно сформулировать в геометрической трактовке так: система с обратной связью будет устойчивой, если годограф комплексной передаточной функции   по петле обратной связи не охватывает точку с координатами (-1; j0), где  - передаточная функция усилителя;  - передаточная функция цепи обратной связи.                              
Построим годограф передаточной функции по петле обратной связи для первого звена фильтра. Для определения передаточной функции разорвем цепь обратной связи на входе усилителя и замкнем входные полюса первого звена фильтра. В результате получим расчетную схему, приведенную на рис.10. Комплексная передаточная функция по петле обратной связи для нее равна:  

 
Рис. 10 – Расчетная схема для построения годографа.

Составим узловые уравнения для узлов 1и 4:
 

Решив эти уравнения, получим выражение для передаточной функции в следующем виде:

 
С помощью среды MathCAD построим годограф по петле обратной связи первого звена фильтра (рис. 11).

 Поскольку годограф   не охватывает точку (-1; j0), то по критерию Найквиста данная цепь устойчива.

8. При каких значениях коэффициента усиления усилителя первого звена фильтра цепь будет находиться строго на границе устойчивости? Чему при этом равна частота свободных колебаний в каскаде?


 Максимум передаточной функции приходится на частоту   (которая находится приравниванием действительной части знаменателя   к нулю):
 
 Для устойчивости цепи коэффициент усиления должен быть  . Если же  , то звено фильтра будет находиться строго на границе устойчивости, при этом частота свободных колебаний будет  .



Скачать одним архивом (бесплатно):




Использование материалов сайта с целью размещения на сторонних ресурсах ЗАПРЕЩЕНО


Не подходит работа? Нет материала? Не знаешь как сделать? Воспользуйся работой на заказ!

/td